Games101 - 现代计算机图形学入门

[WIP]

光栅化(Rasterization)

将三维空间的几何形体显示在屏幕上(转成对应的像素)就是光栅化

线性代数

1. 向量

> 图形学里在不说明向量横竖方向时，都默认书写为竖向量(转置为横向量), 矩阵类似

1.0 相加

1.1 点乘（Dot） 快速获取两个向量的夹角

> 点乘（点积，Dot Product）通常用于表示两个向量的内积。

1.1.1 点乘示例

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n\] \[\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4\]

1.1.2 具体数值的点乘

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32\]

1.2.3 点乘的几何意义是两个向量的模长乘以它们夹角的余弦。

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta\]

1.2 叉乘

叉乘（叉积，Cross Product）通常用于表示两个向量的外积。

1.2.1 示例

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}\]

1.2.2 具体数值的叉乘

\[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\]

1.2.3 叉乘的几何意义是生成一个垂直于两个向量的新向量，其模长等于两个向量的模长乘以它们夹角的正弦。

\[\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \sin \theta\]

1.2.4 叉乘的行列式表示

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\]

2. 矩阵

2.1 矩阵相乘

(M x N)(N x P)=(M x P) 矩阵相乘，第一个矩阵的列(N)一定要跟第二个矩阵的行(N)相同，最后会得到一个(M x P)的矩阵

示例1:

\[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}\]

示例2:

\[\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} & a_{11}b_{14} + a_{12}b_{24} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} & a_{21}b_{14} + a_{22}b_{24} \\ a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} & a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} & a_{31}b_{14} + a_{32}b_{24} \end{pmatrix}\]

2.2 矩阵不满足交换律(大部分情况下)，AxB != BxA

相关资料

• 计算机图形学 虎书 Fundamentals-Of-Computer-Graphics 第5版学习笔记（中文翻译）
• https://learnopengl.com/
• https://learnopengl-cn.github.io/
• https://vulkan-tutorial.com/
• https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations

  Video

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